Ортогонална ли е матрицата на собствения вектор?

Това е въпрос, който нашите експерти получават от време на време. Сега имаме пълното подробно обяснение и отговор за всеки, който се интересува!

Попитан от: Mr. Кълън клиент
Резултат: 4,8/5(64 гласа)

Основен факт е, че собствените стойности на ермитовата матрица A са реални и собствените вектори на различни собствени стойности са ортогонални . Два комплексни колонни вектора x и y с едно и също измерение са ортогонални, ако xHy = 0. ... Поставянето на ортономални собствени вектори като колони дава матрица U, така че UHU = I, която се нарича унитарна матрица.

Ортогонални ли са матриците на собствените вектори?

Като цяло, за всяка матрица, собствените вектори НЕ винаги са ортогонални . Но за специален тип матрица, симетрична матрица, собствените стойности винаги са реални и съответните собствени вектори винаги са ортогонални.

Ортогонални ли са собствените вектори на симетрична матрица?

Собствените вектори на симетрична матрица A, съответстващи на различни собствени стойности, са ортогонални един на друг .

Защо матрицата на собствените вектори е ортогонална?

Следователно, ако двете собствени стойности са различни, левият и десният собствени вектори трябва да са ортогонални . Ако A е симетрично, тогава левият и десният собствени вектори са просто транспонирани един на друг (така че можем да ги смятаме за еднакви). Тогава собствените вектори от различни собствени пространства на симетрична матрица са ортогонални.

Как да разберете дали един собствен вектор е ортогонален?

Ако v е собствен вектор за AT и ако w е собствен вектор за A и ако съответните собствени стойности са различни, тогава v и w трябва да са ортогонални. Разбира се, в случай на симетрична матрица, AT = A , така че това казва, че собствените вектори за A, съответстващи на различни собствени стойности, трябва да бъдат ортогонални.

Собствените вектори на симетричните матрици са ортогонални

Намерени са 40 свързани въпроса

Може ли една реална матрица да има комплексни собствени стойности?

От реална матрица може имат комплексни собствени стойности (срещащи се в комплексно спрегнати двойки), дори за реална матрица A, U и T в горната теорема могат да бъдат комплексни.

Как да разберете дали една матрица е ортогонална?

Обяснение: За да определим дали една матрица е ортогонална, ние трябва да умножим матрицата по нейното транспониране и да видим дали ще получим матрицата за идентичност . Тъй като получаваме единичната матрица, тогава знаем, че това е ортогонална матрица.

Диагонализира ли се симетричната матрица?

Реалните симетрични матрици не само имат реални собствени стойности, те винаги са диагонализирани . Всъщност може да се каже повече за диагонализацията.

Матрицата вид ли е?

Отговор: Матрицата се отнася за правоъгълен масив от числа . Матрицата се състои от редове и колони. ... Различните видове матрици са редова матрица, колонна матрица, нулева матрица, квадратна матрица, диагонална матрица, горна триъгълна матрица, долна триъгълна матрица, симетрична матрица и антисиметрична матрица.


Какво представлява ермитовата матрица с пример?

Когато спрегнатото транспониране на комплексна квадратна матрица е равно на себе си , тогава такава матрица е известна като ермитова матрица. Ако B е комплексна квадратна матрица и ако тя удовлетворява Bаз= B тогава такава матрица се нарича ермитова. Тук Базпредставлява спрегнатото транспониране на матрица B.

Може ли една симетрична матрица да бъде ортогонална?

Всяка реална отражателна матрица на домакин е такава симетрична ортогонална матрица, но нейните записи могат да бъдат доста произволни. Като цяло, ако A е симетрично, то може да се ортогонализира по диагонал и всички негови собствени стойности са реални. Ако също е ортогонален, неговите собствени стойности трябва да бъдат 1 или -1.

Различни ли са собствените стойности на симетричната матрица?

Симетрични матрици

A има точно n ( не задължително различни) собствени стойности.

Защо собствената стойност на симетричната матрица е реална?

Спектралната теорема гласи, че ако A е n × n симетрична матрица с реални елементи, тогава тя има n ортогонални собствени вектора. Първата стъпка от доказателството е да покажем това всички корени на характеристичния полином на A (т.е. собствените стойности на A) са реални числа.


Ортонормални ли са собствените стойности?

където λ1 и λ2 са собствени стойности и u1 и u2 са ортонормални собствени вектори.

Кога можете да диагонализирате матрица?

Квадратната матрица се нарича диагонализираща ако е подобна на диагонална матрица . Това означава, че A е диагонализиращо, ако има обратима матрица P и диагонална матрица D, така че. A=PDP^{-1}. A=PDP−1.

Едно и също ли е ортонормалното и ортогоналното?

Ортонормалните вектори са същите като ортогоналните вектори но с още едно условие и това е, че и двата вектора трябва да бъдат единични вектори. Ако и двата вектора не са единични вектори, това означава, че имате работа с ортогонални вектори, а не с ортонормални вектори.

Какъв е редът на матрицата?

Редът на матрицата може лесно да се изчисли чрез проверка на подреждането на елементите на матрицата. Матрицата е подреждане на елементи, подредени като редове и колони. Редът на матрицата се записва като m × n , където m е броят на редовете в матрицата, а n е броят на колоните в матрицата.


Какво е матрица и нейните свойства?

Матрицата е правоъгълно подреждане на числа в редове и колони . Когато работим с матрици, наричаме реалните числа скалари. Терминът скаларно умножение се отнася до произведението на реално число и матрица. При скаларно умножение всеки запис в матрицата се умножава по дадения скалар.

Какво представлява матрицата, илюстрирана с пример?

Матрицата е правоъгълен масив от числа или символи, които обикновено са подредени в редове и колони . ... Пример с матрица, имаме матрица 3×2, това е така, защото броят на редовете тук е равен на 3, а броят на колоните е равен на 2.

Може ли всяка матрица да бъде диагонализирана?

Всяка матрица не може да се диагонализира . Да вземем за пример ненулеви нилпотентни матрици. Разлагането на Джордан ни казва колко близо може да достигне дадена матрица до диагонализиране.

Кога една матрица не може да бъде диагонализирана?

Матрици, които не са диагонализирани

има една собствена стойност (а именно нула) и тази собствена стойност има алгебрична множественост 2 и геометрична множественост 1.


Може ли една матрица да бъде диагонализирана и да не е обратима?

Не, например нулевата матрица може да се диагонализира , но не е обратим. Квадратната матрица е обратима само ако нейното ядро ​​е 0, а елемент от ядрото е същото нещо като собствен вектор със собствена стойност 0, тъй като е картографиран на 0 пъти по себе си, което е 0.

Какво означава, ако една матрица е ортогонална?

В линейната алгебра ортогоналната матрица или ортонормалната матрица е реална квадратна матрица, чиито колони и редове са ортонормални вектори . ... Детерминантата на всяка ортогонална матрица е или +1, или −1.

Може ли неквадратна матрица да бъде ортогонална?

невъзможно . В линейната алгебра полуортогоналната матрица е неквадратна матрица с реални записи, където: ако броят на редовете надвишава броя на колоните, тогава колоните са ортонормални вектори; но ако броят на колоните надвишава броя на редовете, тогава редовете са ортонормални вектори.

Защо ортогоналните матрици са важни?

Ортогоналните матрици участват в някои от най-важните разграждания в числената линейна алгебра, QR декомпозицията (глава 14) и SVD (глава 15). Фактът, че са включени ортогонални матрици, ги прави безценни инструменти за много приложения.